सशर्त संभावना क्या है मतलब और उदाहरण

सशर्त संभावना क्या है?

सशर्त संभाव्यता को किसी घटना या परिणाम की संभावना के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पिछली घटना या परिणाम की घटना के आधार पर होता है। सशर्त संभाव्यता की गणना पूर्ववर्ती घटना की संभावना को सफल, या सशर्त, घटना की अद्यतन संभावना से गुणा करके की जाती है।

उदाहरण के लिए:

• घटना ए यह है कि कॉलेज के लिए आवेदन करने वाले व्यक्ति को स्वीकार किया जाएगा। एक 80% संभावना है कि इस व्यक्ति को कॉलेज में स्वीकार किया जाएगा।
• घटना बी यह है कि इस व्यक्ति को छात्रावास आवास दिया जाएगा। सभी स्वीकृत छात्रों में से केवल 60% के लिए छात्रावास आवास प्रदान किया जाएगा।
• पी (स्वीकृत और छात्रावास आवास) = पी (छात्रावास आवास | स्वीकृत) पी (स्वीकृत) = (0.60) * (0.80) = 0.48।

एक सशर्त संभावना इन दोनों घटनाओं को एक दूसरे के साथ संबंध में देखेगी, जैसे कि संभावना है कि आप दोनों कॉलेज में स्वीकार किए जाते हैं, और आपको छात्रावास आवास प्रदान किया जाता है।

सशर्त संभावना को बिना शर्त संभावना के विपरीत किया जा सकता है। बिना शर्त संभाव्यता से तात्पर्य किसी घटना के घटित होने की संभावना से है, भले ही कोई अन्य घटना हुई हो या कोई अन्य परिस्थितियाँ मौजूद हों।

सशर्त संभावना को समझना

जैसा कि पहले कहा गया है, सशर्त संभावनाएं पिछले परिणाम पर निर्भर हैं। यह कई तरह के अनुमान भी लगाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप एक बैग से तीन कंचे-लाल, नीला और हरा- खींच रहे हैं। प्रत्येक संगमरमर के खींचे जाने की समान संभावना होती है। नीले रंग को पहले ही खींच लेने के बाद लाल संगमरमर को खींचने की सशर्त संभावना क्या है?

सबसे पहले, नीले संगमरमर को खींचने की संभावना लगभग 33% है क्योंकि यह तीन में से एक संभावित परिणाम है। यह मानते हुए कि यह पहली घटना होती है, दो कंचे बचे रहेंगे, जिनमें से प्रत्येक के खींचे जाने की 50% संभावना होगी। तो पहले से ही लाल मार्बल बनाने के बाद नीले मार्बल को खींचने की संभावना लगभग 16.5% (33% x 50%) होगी।

इस अवधारणा में और अधिक अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए एक अन्य उदाहरण के रूप में, विचार करें कि एक निष्पक्ष पासा लुढ़काया गया है और आपको यह संभावना देने के लिए कहा गया है कि यह पांच था। छह समान रूप से संभावित परिणाम हैं, इसलिए आपका उत्तर 1/6 है।

लेकिन कल्पना कीजिए कि अगर आपके उत्तर देने से पहले, आपको अतिरिक्त जानकारी मिलती है कि लुढ़का हुआ नंबर विषम था। चूंकि केवल तीन विषम संख्याएं संभव हैं, जिनमें से एक पांच है, आप निश्चित रूप से इस संभावना के लिए अपने अनुमान को संशोधित करेंगे कि पांच को 1/6 से 1/3 तक घुमाया गया था।

यह संशोधित संभावना है कि एक घटना ए हुई है, अतिरिक्त जानकारी पर विचार करते हुए कि एक और घटना बी प्रयोग के इस परीक्षण पर निश्चित रूप से हुआ है, इसे कहा जाता है की सशर्त संभावना ए दिया गया बी और P(A|B) द्वारा निरूपित किया जाता है।

सशर्त संभावना फॉर्मूला

पी (बी | ए) = पी (ए और बी) / पी (ए)

या:

पी (बी | ए) = पी (ए∩बी) / पी (ए)

कहाँ

पी = संभावना

ए = घटना ए

बी = घटना बी

सशर्त संभावना का एक और उदाहरण

एक अन्य उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि एक छात्र एक विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए आवेदन कर रहा है और एक अकादमिक छात्रवृत्ति प्राप्त करने की उम्मीद करता है। जिस स्कूल में वे आवेदन कर रहे हैं, वह प्रत्येक 1,000 आवेदकों (10%) में से 100 को स्वीकार करता है और प्रत्येक 500 छात्रों में से 10 को अकादमिक छात्रवृत्ति प्रदान करता है, जिन्हें स्वीकार किया जाता है (2%)।

छात्रवृत्ति प्राप्तकर्ताओं में से, उनमें से 50% को पुस्तकों, भोजन और आवास के लिए विश्वविद्यालय का वजीफा भी मिलता है। छात्रों के लिए, छात्रवृत्ति प्राप्त करने के बाद उन्हें स्वीकार किए जाने की संभावना .2% (.1 x .02) है। उनके स्वीकार किए जाने, छात्रवृत्ति प्राप्त करने, फिर पुस्तकों के लिए वजीफा प्राप्त करने आदि की संभावना .1% (.1 x .02 x .5) है।

सशर्त संभावना बनाम संयुक्त संभावना और सीमांत संभावना

सशर्त संभाव्यता: p(A|B) घटना A के घटित होने की प्रायिकता है, बशर्ते कि घटना B घटित हो। उदाहरण के लिए, यह देखते हुए कि आपने एक लाल कार्ड खींचा है, इसकी क्या प्रायिकता है कि यह चार (p(चार|लाल))=2/26=1/13 है। तो 26 लाल कार्डों में से (एक लाल कार्ड दिया गया), दो चौके हैं इसलिए 2/26 = 1/13।

सीमांत संभावना: किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता (p(A)), इसे बिना शर्त प्रायिकता के रूप में माना जा सकता है। यह किसी अन्य घटना पर वातानुकूलित नहीं है। उदाहरण: निकाले गए कार्ड के लाल होने की प्रायिकता (p(लाल) = 0.5)। एक अन्य उदाहरण: एक कार्ड के निकाले जाने की प्रायिकता 4 (p(चार)=1/13) है।

संयुक्त संभाव्यता: पी (ए और बी)। घटना A . की प्रायिकता और घटना बी हो रही है। यह दो या दो से अधिक घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता है। A और B के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता p(A ∩ B) लिखी जा सकती है। उदाहरण: एक कार्ड के चार और लाल होने की प्रायिकता =p(चार और लाल) = 2/52=1/26। (52 के डेक में दो लाल चौके हैं, 4 दिलों के और 4 हीरे के)।

बेयस प्रमेय

बेयस प्रमेय, जिसका नाम 18वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, सशर्त संभाव्यता निर्धारित करने के लिए एक गणितीय सूत्र है। प्रमेय नए या अतिरिक्त सबूत दिए गए मौजूदा भविष्यवाणियों या सिद्धांतों (अद्यतन संभावनाएं) को संशोधित करने का एक तरीका प्रदान करता है। वित्त में, बेयस प्रमेय का उपयोग संभावित उधारकर्ताओं को पैसे उधार देने के जोखिम को रेट करने के लिए किया जा सकता है।

बेयस के प्रमेय को बेयस का नियम या बेयस का नियम भी कहा जाता है और यह बायेसियन सांख्यिकी के क्षेत्र की नींव है। संभाव्यता के नियमों का यह सेट किसी को प्राप्त होने वाली नई जानकारी के आधार पर होने वाली घटनाओं की अपनी भविष्यवाणियों को अद्यतन करने की अनुमति देता है, जिससे बेहतर और अधिक गतिशील अनुमान बनते हैं।

तल – रेखा

सशर्त संभाव्यता एक पूर्ववर्ती घटना की संभावना के आधार पर होने वाली घटना की संभावना की जांच करती है। दूसरी घटना पहली घटना पर निर्भर है। इसकी गणना पहली घटना की प्रायिकता को दूसरी घटना की प्रायिकता से गुणा करके की जाती है।