ब्लैक-स्कोल्स मॉडल क्या है मतलब और उदाहरण

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल क्या है?

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल, जिसे ब्लैक-स्कोल्स-मेर्टन (बीएसएम) मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, आधुनिक वित्तीय सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। यह गणितीय समीकरण समय के प्रभाव और अन्य जोखिम कारकों को ध्यान में रखते हुए अन्य निवेश साधनों के आधार पर डेरिवेटिव के सैद्धांतिक मूल्य का अनुमान लगाता है। 1973 में विकसित, इसे अभी भी एक विकल्प अनुबंध के मूल्य निर्धारण के सर्वोत्तम तरीकों में से एक माना जाता है।

सारांश

  • ब्लैक-स्कोल्स मॉडल, उर्फ ​​द ब्लैक-स्कोल्स-मेर्टन (बीएसएम) मॉडल, एक अंतर समीकरण है जिसका व्यापक रूप से मूल्य विकल्प अनुबंधों के लिए उपयोग किया जाता है।
  • ब्लैक-स्कोल्स मॉडल को पांच इनपुट चर की आवश्यकता होती है: एक विकल्प का स्ट्राइक मूल्य, वर्तमान स्टॉक मूल्य, समाप्ति का समय, जोखिम-मुक्त दर और अस्थिरता।
  • हालांकि आमतौर पर सटीक, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल कुछ धारणाएं बनाता है जो वास्तविक दुनिया के परिणामों से विचलित होने वाली कीमतों को जन्म दे सकती हैं।
  • मानक बीएसएम मॉडल का उपयोग केवल यूरोपीय विकल्पों की कीमत के लिए किया जाता है, क्योंकि यह इस बात पर ध्यान नहीं देता है कि समाप्ति तिथि से पहले अमेरिकी विकल्पों का प्रयोग किया जा सकता है।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का इतिहास

1973 में फिशर ब्लैक, रॉबर्ट मेर्टन और मायरोन स्कोल्स द्वारा विकसित, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल मौजूदा स्टॉक कीमतों, अपेक्षित लाभांश, विकल्प के स्ट्राइक मूल्य, अपेक्षित का उपयोग करके एक विकल्प अनुबंध के सैद्धांतिक मूल्य की गणना करने के लिए पहली व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली गणितीय विधि थी। ब्याज दरें, समाप्ति का समय और अपेक्षित अस्थिरता।

प्रारंभिक समीकरण को ब्लैक एंड स्कोल्स के 1973 के पेपर, “द प्राइसिंग ऑफ ऑप्शंस एंड कॉरपोरेट लायबिलिटीज” में प्रकाशित किया गया था। जर्नल ऑफ पॉलिटिकल इकोनॉमी. रॉबर्ट सी. मेर्टन ने उस पेपर को संपादित करने में मदद की। उस वर्ष बाद में, उन्होंने अपना लेख, “तर्कसंगत विकल्प मूल्य निर्धारण का सिद्धांत,” में प्रकाशित किया अर्थशास्त्र और प्रबंधन विज्ञान के बेल जर्नल, मॉडल की गणितीय समझ और अनुप्रयोगों का विस्तार करना, और “ब्लैक-स्कोल्स थ्योरी ऑफ़ ऑप्शंस प्राइसिंग” शब्द को गढ़ना।

1997 में, स्कोल्स और मर्टन को “डेरिवेटिव के मूल्य को निर्धारित करने के लिए एक नई विधि” खोजने में उनके काम के लिए आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था। ब्लैक का दो साल पहले निधन हो गया था, और इसलिए प्राप्तकर्ता नहीं हो सका, क्योंकि नोबेल पुरस्कार मरणोपरांत नहीं दिए जाते हैं; हालांकि, नोबेल समिति ने ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में उनकी भूमिका को स्वीकार किया।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल कैसे काम करता है

ब्लैक-स्कोल्स का मानना ​​​​है कि स्टॉक शेयर या वायदा अनुबंध जैसे उपकरणों में निरंतर बहाव और अस्थिरता के साथ यादृच्छिक चलने के बाद कीमतों का असामान्य वितरण होगा। इस धारणा और अन्य महत्वपूर्ण चरों में फैक्टरिंग का उपयोग करते हुए, समीकरण एक यूरोपीय शैली के कॉल विकल्प की कीमत प्राप्त करता है।

ब्लैक-स्कोल्स समीकरण के लिए पाँच चरों की आवश्यकता होती है। ये इनपुट हैं अस्थिरता, अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत, विकल्प का स्ट्राइक मूल्य, विकल्प की समाप्ति तक का समय और जोखिम मुक्त ब्याज दर। इन चरों के साथ, विकल्प विक्रेताओं के लिए यह सैद्धांतिक रूप से संभव है कि वे उन विकल्पों के लिए तर्कसंगत मूल्य निर्धारित करें जो वे बेच रहे हैं।

इसके अलावा, मॉडल भविष्यवाणी करता है कि भारी कारोबार वाली संपत्तियों की कीमत निरंतर बहाव और अस्थिरता के साथ एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति का पालन करती है। स्टॉक विकल्प पर लागू होने पर, मॉडल में स्टॉक की निरंतर मूल्य भिन्नता, पैसे का समय मूल्य, विकल्प का स्ट्राइक मूल्य और विकल्प की समाप्ति का समय शामिल होता है।

ब्लैक-स्कोल्स धारणाएं

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल कुछ धारणाएँ बनाता है:

  • विकल्प के जीवन के दौरान किसी लाभांश का भुगतान नहीं किया जाता है।
  • बाजार यादृच्छिक होते हैं (अर्थात, बाजार के उतार-चढ़ाव का अनुमान नहीं लगाया जा सकता है)।
  • विकल्प खरीदने में कोई लेनदेन लागत नहीं है।
  • अंतर्निहित परिसंपत्ति की जोखिम मुक्त दर और अस्थिरता ज्ञात और स्थिर है।
  • अंतर्निहित परिसंपत्ति पर रिटर्न लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।
  • विकल्प यूरोपीय है और केवल समाप्ति पर ही इसका प्रयोग किया जा सकता है।

जबकि मूल ब्लैक-स्कोल्स मॉडल ने विकल्प के जीवन के दौरान भुगतान किए गए लाभांश के प्रभावों पर विचार नहीं किया, मॉडल को अक्सर अंतर्निहित स्टॉक के पूर्व-लाभांश तिथि मूल्य का निर्धारण करके लाभांश के लिए खाते में अनुकूलित किया जाता है। कई विकल्प-विक्रय बाजार निर्माताओं द्वारा मॉडल को उन विकल्पों के प्रभाव के लिए भी संशोधित किया जाता है जिन्हें समाप्ति से पहले प्रयोग किया जा सकता है।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल फॉर्मूला

सूत्र में शामिल गणित जटिल है और डराने वाला हो सकता है। सौभाग्य से, आपको अपनी रणनीतियों में ब्लैक-स्कोल्स मॉडलिंग का उपयोग करने के लिए गणित को जानने या समझने की आवश्यकता नहीं है। विकल्प व्यापारियों के पास विभिन्न प्रकार के ऑनलाइन विकल्प कैलकुलेटर तक पहुंच है, और आज के कई ट्रेडिंग प्लेटफॉर्म संकेतक और स्प्रेडशीट सहित मजबूत विकल्प विश्लेषण टूल का दावा करते हैं, जो गणना करते हैं और विकल्प मूल्य निर्धारण मूल्यों को आउटपुट करते हैं।

ब्लैक-स्कोल्स कॉल ऑप्शन फॉर्मूला की गणना संचयी मानक सामान्य संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा स्टॉक मूल्य को गुणा करके की जाती है। इसके बाद, संचयी मानक सामान्य वितरण से गुणा किए गए स्ट्राइक मूल्य का शुद्ध वर्तमान मूल्य (एनपीवी) पिछली गणना के परिणामी मूल्य से घटाया जाता है।

गणितीय संकेतन में:













सी

=


एस

टी


एन

(


डी

1


)











आर

टी



एन

(


डी

2


)















कहाँ पे:
















डी

1


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और
















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1





मैं

एस




टी
















कहाँ पे:















सी

=

कॉल विकल्प कीमत















एस

=

वर्तमान स्टॉक (या अन्य अंतर्निहित) मूल्य

















=

हड़ताल की कीमत















आर

=

जोखिम मुक्त ब्याज दर















टी

=

परिपक्वता का समय















एन

=

एक सामान्य वितरण






begin{aligned} &C = S_t N(d _1) – K e ^{-rt} N(d _2)\ &textbf{where:}\ &d_1 = frac{lnfrac{S_t}{K } + (r+ frac{sigma ^{2} _v}{2}) t}{sigma_s sqrt{t}}\ &text{and}\ &d_2 = d _1 – sigma_s sqrt{t}\ &textbf{where:}\ &C = text{कॉल ऑप्शन प्राइस}\ &S = text{वर्तमान स्टॉक (या अन्य अंतर्निहित) कीमत}\ &K = text{स्ट्राइक प्राइस }\ &r = text{जोखिम-मुक्त ब्याज दर}\ &t = text{परिपक्वता का समय}\ &N = text{एक सामान्य वितरण}\ end{संरेखित}


मैंसी=एसटीमैंएन(डी1मैं)आरटीएन(डी2मैं)कहाँ पे:डी1मैं=मैंएसमैं टीमैंमैंएनएसटीमैंमैं+(आर+2मैंवी2मैंमैं) टीमैंऔरडी2मैं=डी1मैंमैंएसमैं टीमैंकहाँ पे:सी=कॉल विकल्प कीमतएस=वर्तमान स्टॉक (या अन्य अंतर्निहित) मूल्य=हड़ताल की कीमतआर=जोखिम मुक्त ब्याज दरटी=परिपक्वता का समयएन=एक सामान्य वितरणमैं


ब्लैक, स्कोल्स, मर्टन।
© खान अकादमी

अस्थिरता तिरछा

ब्लैक-स्कोल्स मानते हैं कि स्टॉक की कीमतें एक असामान्य वितरण का पालन करती हैं क्योंकि परिसंपत्ति की कीमतें नकारात्मक नहीं हो सकती हैं (वे शून्य से बंधी हैं)।

अक्सर, संपत्ति की कीमतों में महत्वपूर्ण सही तिरछापन और कुछ हद तक कर्टोसिस (वसा पूंछ) देखा जाता है। इसका मतलब यह है कि सामान्य वितरण की भविष्यवाणी की तुलना में उच्च जोखिम वाले नीचे की ओर अक्सर बाजार में अधिक बार होता है।

असामान्य अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमतों की धारणा से पता चलता है कि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के अनुसार प्रत्येक स्ट्राइक मूल्य के लिए निहित अस्थिरता समान है। हालांकि, 1987 के बाजार में गिरावट के बाद से, एट-द-मनी विकल्पों के लिए निहित अस्थिरता पैसे से बाहर या पैसे में दूर की तुलना में कम रही है। इस घटना का कारण यह है कि बाजार में कीमतों में उतार-चढ़ाव की अधिक संभावना के कारण बाजार में गिरावट आती है।

इससे अस्थिरता तिरछी उपस्थिति की उपस्थिति हुई है। जब समान समाप्ति तिथि वाले विकल्पों के लिए निहित अस्थिरता को ग्राफ़ पर मैप किया जाता है, तो एक मुस्कान या तिरछी आकृति देखी जा सकती है। इस प्रकार, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल निहित अस्थिरता की गणना के लिए कुशल नहीं है।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल की कमियां

जैसा कि पहले कहा गया है, ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का उपयोग केवल यूरोपीय विकल्पों की कीमत के लिए किया जाता है और इस बात पर ध्यान नहीं दिया जाता है कि समाप्ति तिथि से पहले यूएस विकल्पों का प्रयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, मॉडल मानता है कि लाभांश और जोखिम मुक्त दरें स्थिर हैं, लेकिन वास्तविकता में यह सच नहीं हो सकता है। मॉडल यह भी मानता है कि विकल्प के जीवन में अस्थिरता स्थिर रहती है, जो कि ऐसा नहीं है क्योंकि अस्थिरता आपूर्ति और मांग के स्तर के साथ उतार-चढ़ाव करती है।

इसके अतिरिक्त, अन्य धारणाएं—कि कोई लेनदेन लागत या कर नहीं हैं; कि जोखिम मुक्त ब्याज दर सभी परिपक्वताओं के लिए स्थिर है; आय के उपयोग के साथ प्रतिभूतियों की कम बिक्री की अनुमति है; और यह कि कोई जोखिम-रहित अंतरपणन अवसर नहीं हैं—की वजह से कीमतें वास्तविक दुनिया से विचलित हो सकती हैं।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल क्या करता है?

ब्लैक-स्कोल्स, जिसे ब्लैक-स्कोल्स-मेर्टन (बीएसएम) के रूप में भी जाना जाता है, विकल्प मूल्य निर्धारण के लिए व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला पहला मॉडल था। इस धारणा के आधार पर कि स्टॉक शेयर या वायदा अनुबंध जैसे उपकरणों में निरंतर बहाव और अस्थिरता के साथ यादृच्छिक चलने के बाद कीमतों का एक असामान्य वितरण होगा, और अन्य महत्वपूर्ण चर में फैक्टरिंग, समीकरण एक यूरोपीय-शैली कॉल की कीमत प्राप्त करता है विकल्प। यह स्ट्राइक मूल्य के शुद्ध वर्तमान मूल्य (एनपीवी) को स्टॉक मूल्य के उत्पाद से संचयी मानक सामान्य वितरण और संचयी मानक सामान्य संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन से गुणा करके घटाता है।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के लिए इनपुट क्या हैं?

ब्लैक-स्कोल्स समीकरण के लिए इनपुट हैं अस्थिरता, अंतर्निहित परिसंपत्ति की कीमत, विकल्प का स्ट्राइक मूल्य, विकल्प की समाप्ति तक का समय और जोखिम-मुक्त ब्याज दर। इन चरों के साथ, विकल्प विक्रेताओं के लिए यह सैद्धांतिक रूप से संभव है कि वे उन विकल्पों के लिए तर्कसंगत मूल्य निर्धारित करें जो वे बेच रहे हैं।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल क्या धारणाएँ बनाता है?

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल कुछ धारणाएँ बनाता है। उनमें से प्रमुख यह है कि विकल्प यूरोपीय है और केवल समाप्ति पर ही प्रयोग किया जा सकता है। अन्य धारणा यह है कि विकल्प के जीवन के दौरान किसी भी लाभांश का भुगतान नहीं किया जाता है; कि बाजार की गतिविधियों की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है; विकल्प खरीदने में कोई लेनदेन लागत नहीं है; जोखिम मुक्त दर और अंतर्निहित की अस्थिरता ज्ञात और स्थिर है; और अंतर्निहित परिसंपत्ति पर रिटर्न लॉग-सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल की सीमाएं क्या हैं?

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल का उपयोग केवल यूरोपीय विकल्पों की कीमत के लिए किया जाता है और इस बात पर ध्यान नहीं दिया जाता है कि समाप्ति तिथि से पहले अमेरिकी विकल्पों का प्रयोग किया जा सकता है। इसके अलावा, मॉडल मानता है कि लाभांश, अस्थिरता और जोखिम मुक्त दरें विकल्प के जीवन पर स्थिर रहती हैं।

करों, कमीशनों या व्यापारिक लागतों या करों को ध्यान में न रखने से भी ऐसे मूल्यांकन हो सकते हैं जो वास्तविक दुनिया के परिणामों से विचलित होते हैं।

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